Question

心理學(xué)家研究某位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況發(fā)現(xiàn)：若這位學(xué)生剛學(xué)完的知識(shí)存留量為1，則x天后的存留量y1=

4

x+4

；若在t（t＞0）天時(shí)進(jìn)行第一次復(fù)習(xí)，則此時(shí)這似乎存留量比未復(fù)習(xí)情況下增加一倍（復(fù)習(xí)的時(shí)間忽略不計(jì)），其后存留量y₂隨時(shí)間變化的曲線恰好為直線的一部分，其斜率為

a

(t+4)2

(a＜0)，存留量隨時(shí)間變化的曲線如圖所示．當(dāng)進(jìn)行第一次復(fù)習(xí)后的存留量與不復(fù)習(xí)的存留量相差最大時(shí)，則稱此時(shí)刻為“二次復(fù)習(xí)最佳時(shí)機(jī)點(diǎn)”
（1）若a=-1，t=5，求“二次復(fù)習(xí)最佳時(shí)機(jī)點(diǎn)”；
（2）若出現(xiàn)了“二次復(fù)習(xí)最佳時(shí)機(jī)點(diǎn)”，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）第一次復(fù)習(xí)后的存留量是y₂，不復(fù)習(xí)時(shí)的存留量為y₁，復(fù)習(xí)后與不復(fù)習(xí)的存留量差是y=y₂-y₁；把a(bǔ)、t代入，整理即得所求；
（2）求出知識(shí)留存量函數(shù)y=

a

(t+4)2

(x-t)+

8

t+4

-

4

x+4

（t＞4，且t、a是常數(shù)，x是自變量），y取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的t、a取值范圍即可．

解答：解：（1）設(shè)第一次復(fù)習(xí)后的存留量與不復(fù)習(xí)的存留量之差為y，
由題意，第一次復(fù)習(xí)后的存留量是y2=

a

(t+4)2

(x-t)+

8

t+4

(t＞4)，
不復(fù)習(xí)的存留量為y1=

4

x+4

；
∴y=y2-y1=

a

(t+4)2

(x-t)+

8

t+4

-

4

x+4

(t＞4)；
當(dāng)a=-1，t=5時(shí)，y=

-1

(5+4)2

(x-5)+

8

5+4

-

4

x+4

=

-(x+4)

81

-

4

x+4

+1≤-2

4 81

+1=

5

9

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=14時(shí)取等號(hào)，
所以“二次復(fù)習(xí)最佳時(shí)機(jī)點(diǎn)”為第14天．
（2）知識(shí)留存量函數(shù)y=

a

(t+4)2

(x-t)+

8

t+4

-

4

x+4

=-

-a(x+4)

(t+4)2

-

4

x+4

+

8

t+4

-

a(t+4)

(t+4)2

≤-2

-4a (t+4)2

+

8-a

t+4

，
當(dāng)且僅當(dāng)

-a(x+4)

(t+4)2

=

4

x+4

即x=

2

-a

(t+4)-4時(shí)取等號(hào)，
由題意

2

-a

(t+4)-4＞t，所以-4＜a＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含有字母參數(shù)的函數(shù)類型的應(yīng)用，題目中應(yīng)用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）求出最值，有難度，是綜合題．