【題目】已知定義在上的奇函數
滿足
,且在
上是增函數;
定義行列式; 函數
(其中
).
(1) 證明: 函數在
上也是增函數;
(2) 若函數的最大值為4,求
的值;
(3) 若記集合M={m|恒有g()<0},
,求
.
【答案】(1)見解析(2)(3)
=(
,
)
【解析】分析:(1)先作差,利用奇偶性化簡得差的符號,最后根據單調性定義得結論,(2)先根據定義得,根據平方關系化為二次函數,根據二次函數性質求最值,解得
的值;(3)先根據
單調性確定N,再求
,轉化為g(
)<-2恒成立,根據變量分離法得
,
,再根據基本不等式求最值,即得結果.
詳解:
解(1) 證明:任取, 則
且在
上是增函數,
,又
為奇函數
故
即,函數
在
上也是增函數;
(2)
的最大值只可能在
,或
,或
處取到.
若,
,則有
,此時
,符合;
若,
,則有
,此時
,不符合;
若,
,則有
或
此時或
, 不符合 .
.
(3) 是定義在
上的奇函數且滿足
又在
上均是增函數,
由 得
或
所以{m|恒有g(
)<-2}
即,
對
恒成立
故的最大值
,同理可證
時,
t=時,
取最小值
,
此時取最大值
所以m>即可。 故:
=(
,
)
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】(本題滿分14分)
已知正項數列滿足:對任意正整數
,都有
成等差數列,
成等比數列,且
(Ⅰ)求證:數列是等差數列;
(Ⅱ)求數列的通項公式;
(Ⅲ) 設如果對任意正整數
,不等式
恒成立,求實數
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知圓 ,圓心為
,定點
,
為圓
上一點,線段
上一點
滿足
,直線
上一點
,滿足
.
(Ⅰ)求點 的軌跡
的方程;
(Ⅱ) 為坐標原點,
是以
為直徑的圓,直線
與
相切,并與軌跡
交于不同的兩點
.當
且滿足
時,求
面積
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】《算法統(tǒng)綜》是明朝程大位所著數學名著,其中有這樣一段表述:“遠看巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一”,其意大致為:有一七層寶塔,每層懸掛的紅燈數為上一層的兩倍,共有381盞燈,則塔從上至下的第三層有( )盞燈.
A.14
B.12
C.10
D.8
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某廠生產和
兩種產品,按計劃每天生產
各不得少于10噸,已知生產
產品
噸需要用煤9噸,電4度,勞動力3個(按工作日計算).生產
產品1噸需要用煤4噸,電5度,勞動力10個,如果
產品每噸價值7萬元,
產品每噸價值12萬元,而且每天用煤不超過300噸,用電不超過200度,勞動力最多只有300個,每天應安排生產
兩種產品各多少才是合理的?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某科研小組有20個不同的科研項目,每年至少完成一項。有下列兩種完成所有科研項目的計劃:
A計劃:第一年完成5項,從第一年開始,每年完成的項目不得少于次年,直到全部完成為止;
B計劃:第一年完成項數不限,從第一年開始,每年完成的項目不得少于次年,恰好5年完成所有項目。
那么,按照A計劃和B計劃所安排的科研項目不同完成順序的方案數量
A. 按照A計劃完成的方案數量多
B. 按照B計劃完成的方案數量多
C. 按照兩個計劃完成的方案數量一樣多
D. 無法判斷哪一種計劃的方案數量多
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知是圓
上任意一點,過
作
軸的垂線段
,
為垂足.當點
在圓
上運動時,線段
中點
的軌跡為曲線
(包括點
和點
),
為坐標原點.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)直線與曲線
相切,且
與圓
相交于
兩點,當
的面積最大時,試求直線
的方程.
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