Question

己知函數(shù)f（x）=lnx-lna，g（x）=ae^x，其中a為常數(shù)，函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線互相平行．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x-1）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式xf（x）-k（x+1）f[g（x-1）]≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=lnx-lna，g（x）=ae^x，我們可以求出函數(shù)y=f（x）的圖象與Y軸的交點(diǎn)和y=g（x）的圖象與X軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)后，根據(jù)函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行，即兩函數(shù)在交點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可求出答案．
（2）不等式xf（x）-k（x+1）f[g（x-1）]≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，則xlnx-k（x²-1）≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵g（x）=ae^x，
∴g′（x）=ae^x，函數(shù)g（x）=ae^x只于Y軸交于（0，a），且g′（0）=a
又∵f（x）=lnx-lna，
∴f′（x）=

1

x

，
又∵函數(shù)f（x）=lnx-lna只于X軸交于（a，0）點(diǎn)
∴f′（a）=

1

a

又∵函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行
∴a=1
∴F（x）=lnx-e^x-1，
∴F′（x）=

1-xex-1

x

，
令h（x）=1-xe^x-1，則h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且h（1）=0，
∴（0，1）上h（x）＞0，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
（1，+∞）上h（x）＜0，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)F（x）=f（x）-g（x-1）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）不等式xf（x）-k（x+1）f[g（x-1）]≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，則xlnx-k（x²-1）≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
令φ（x）=xlnx-k（x²-1）（x≥1），則φ′（x）=lnx+1-2kx，
令u（x）=lnx+1-2kx，則u′（x）=

1-2kx

x

①k≤0，u′（x）＞0，φ′（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，φ′（x）＞φ′（1）=1-2k＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴φ（x）≥φ（1）=0，不合題意，舍去；
②0＜k＜

1

2

，x∈（1，

1

2k

），u′（x）＞0，φ′（x）在（1，

1

2k

）上單調(diào)遞增，φ′（x）＞φ′（1）=1-2k＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴φ（x）≥φ（1）=0，不合題意，舍去；
③k≥

1

2

，u′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，φ′（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，φ′（x）φ′（1）=1-2k≤0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴φ（x）≤φ（1）=0，即xlnx-k（x²-1）≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
∴k的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，直線平行與斜率的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)法求直線的斜率，函數(shù)恒成立問題，其難度大．