Question

（2008•武漢模擬）在數(shù)列|an|中，a1=t﹣1，其中t＞0且t≠1，且滿足關(guān)系式：an+1（an+tn﹣1）=an（tn+1﹣1），（n∈N+）

（1）猜想出數(shù)列|an|的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明之；

（2）求證：an+1＞an，（n∈N+）．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）由原遞推式得到，再寫出前幾項(xiàng)，從而猜想數(shù)列|an|的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

（2）利用（1）的結(jié)論，作差進(jìn)行比較，故可得證．

【解析】
（1）由原遞推式得到，，=

猜想得到…（3分）

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

10當(dāng)n=1時(shí) a1=t﹣1 滿足條件

20假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，

則，∴，∴

即當(dāng)n=k+1時(shí)，原命題也成立．

由10、20知…（7分）

（2）==

而ntn﹣（tn﹣1+tn﹣2+…+t+1）=（tn﹣tn﹣1）+（tn﹣tn﹣2）+…+（tn﹣t）+（tn﹣1）=tn﹣1（t﹣1）+tn﹣2（t2﹣1）+tn﹣3（t3﹣1）+…+t（tn﹣1﹣1）+（tn﹣1）=

故t＞0，且t≠1時(shí)有an+1﹣an＞0，即an+1＞an…（13分）