Question

已知y=f（x）是偶函數(shù)，而y=f（x+1）是奇函數(shù)，且對任意0≤x≤1，f（x）遞減，都有f（x）≥0，則a=f（2010），b=f（

5

4

），c=-f（

1

2

）的大小關(guān)系是（　�。�

• A、b＜c＜a
• B、c＜b＜a
• C、a＜c＜b
• D、a＜b＜c

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由y=f（x）是偶函數(shù)，y=f（x+1）是奇函數(shù)可推斷出=f（x）是周期為4的函數(shù)，由這些性質(zhì)將三數(shù)化簡為自變量在0≤x≤1的函數(shù)值，再利用單調(diào)性比較大�。�

解答： 解：由y=f（x+1）是奇函數(shù)，得f（-x+1）=-f（x+1），
則令x取x+1代入上式得，f（-x）=-f（x+2），
∵y=f（x）是偶函數(shù)，∴f（x+2）=-f（-x）=-f（x），
則f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的一個周期函數(shù)，
則a=f（2010）=f（4×502+2）=f（2）=-f（0），
b=f（

5

4

）=f（-

3

4

+2）=-f（

3

4

），
c=-f（

1

2

），
∵0＜

1

2

＜

3

4

，且對任意0≤x≤1，f（x）遞減，
∴f(0)＞f(

1

2

)＞f(

3

4

)，則-f(0)＜-f(

1

2

)＜-f(

3

4

)，
即a＜c＜b，
故選：C．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合運用，利用奇偶性來研究函數(shù)的周期性，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，在本題三數(shù)的大小比較中，利用函數(shù)的周期性把三數(shù)轉(zhuǎn)化到一個單調(diào)區(qū)間上來比較函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的周期．