Question

如圖，已知點E(m,0)(m＞0)為拋物線y²＝4x內(nèi)一個定點，過E作斜率分別為k₁，k₂的兩條直線交拋物線于點A，B，C，D，且M，N分別是AB，CD的中點．

(1)若m＝1，k₁k₂＝－1，求△EMN面積的最小值；

(2)若k₁＋k₂＝1，求證：直線MN過定點．

 

Answer 1

解　(1)當(dāng)m＝1時，E為拋物線y²＝4x的焦點，

∵k₁k₂＝－1，∴AB⊥CD.

設(shè)直線AB的方程為y＝k₁(x－1)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由得k₁y²－4y－4k₁＝0，

y₁＋y₂＝，y₁y₂＝－4.

同理，點N(2k＋1，－2k₁)，

∴S_△EMN＝|EM|·|EN|＝＝2≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)k＝，即k₁＝±1時，△EMN的面積取得最小值4.

(2)設(shè)直線AB的方程為y＝k₁(x－m)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由得k₁y²－4y－4k₁m＝0，

y₁＋y₂＝，y₁y₂＝－4m，

∵

∴M，

同理，點N，

∴k_MN＝＝k₁k₂.

∴直線MN的方程為

y－＝k₁k₂，即y＝k₁k₂(x－m)＋2，

∴直線MN恒過定點(m,2)．