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【題目】設函數

（1）當時，求函數在點處的切線方程；

（2）若函數存在兩個極值點，

①求實數的范圍；

②證明：.

【答案】（1）；（2），證明詳見解析．

【解析】

試題本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的極值和最值、利用導數求曲線的切線方程等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，將代入，對求導，切點的縱坐標為，斜率為，利用點斜式寫出切線方程；第二問，對求導，令，將函數存在兩個極值點，轉化為方程有兩個不同的正根，利用二次函數的圖象分析列出不等式，解出a的取值范圍；對求導，求出的根，得到的表達式，構造函數，利用導數判斷函數的單調性，求出最小值，即證明了結論．

試題解析：（1）當a＝2時，，，

則，，所以切線方程為．4分

（2）（），令，得，

①函數有兩個極值點等價于方程有兩個不同的正根，

設，所以，

所以函數有兩個極值點，，則，

②由，得，則，，，

在區(qū)間上遞減，，

所以

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

(1)若在上單調遞減，求的取值范圍；

(2)若在處取得極值，判斷當時，存在幾條切線與直線平行，請說明理由；

(3)若有兩個極值點，求證：.

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【題目】甲、乙兩超市同時開業(yè)，第一年的全年銷售額為a萬元，由于經營方式不同，甲超市前n年的總銷售額為 (n2－n＋2)萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多a萬元．

(1)求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達式；

(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，將會出現在第幾年？

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【題目】某市統計局就某地居民的月收入調查了10000人，并根據所得數據畫出樣本的頻率分布直方圖（每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在）.

（1）求居民收入在的頻率；

（2）根據頻率分布直方圖算出樣本數據的中位數；

（3）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，必須按月收入再從這10000人中按分層抽樣方法抽出100人作進一步分析，則月收入在的這段應抽取多少人？

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【題目】某區(qū)的區(qū)人大代表有教師6 人，分別來自甲、乙、丙、丁四個學校，其中甲校教師記為，，乙校教師記為，，丙校教師記為C，丁校教師記為D.現從這6 名教師代表中選出 3 名教師組成十九大報告宣講團，要求甲、乙、丙、丁四個學校中，每校至多選出1名.

（1）請列出十九大報告宣講團組成人員的全部可能結果；

（2）求教師被選中的概率；

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，在點處的切線方程為.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）已知，當時，恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）對于在中的任意一個常數，是否存在正數，使得，請說明理由。

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【題目】設函數.

(Ⅰ) 求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ) 討論函數的單調性；

(Ⅲ) 設,當時,若對任意的，存在，使得≥，求實數的取值范圍.

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【題目】某城市通過抽樣調查的方法獲得了100戶居民某月用水量（單位：t）的頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求這100戶居民該月用水量的平均值；

（Ⅱ）從該月用水量在和兩個區(qū)間的用戶中，用分層抽樣的方法邀請5戶的戶主共5人參加水價調整方案聽證會，現從這5人中隨機選取2人在會上進行陳述發(fā)言，求選取的2人均來自用水量低于2.5t的用戶的概率.

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【題目】如圖，已知菱形與直角梯形所在的平面互相垂直，其中，，，，為的中點

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）設為線段上一點，，若直線與平面所成角的正弦值為，求的長.

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