Question

已知曲線y=

1

3

x³+

4

3

．
（1）求曲線在點P（2，4）處的切線方程；
（2）求曲線過點P（2，4）的切線方程；
（3）求斜率為1的曲線的切線方程．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)曲線的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出切線的斜率，根據(jù)P的坐標(biāo)和求出的斜率寫出切線的方程即可；
（2）設(shè)出曲線過點P切線方程的切點坐標(biāo)，把切點的橫坐標(biāo)代入到（1）求出的導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點坐標(biāo)和表示出的斜率，寫出切線的方程，把P的坐標(biāo)代入切線方程即可得到關(guān)于切點橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點橫坐標(biāo)的值，分別代入所設(shè)的切線方程即可；
（3）設(shè)出切點坐標(biāo)，由切線的斜率為1，把切點的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中求出的函數(shù)值等于1列出關(guān)于切點橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點的橫坐標(biāo)，代入曲線方程即可求出相應(yīng)的縱坐標(biāo)，根據(jù)切點坐標(biāo)和斜率分別寫出切線方程即可．

解答： 解：（1）∵P（2，4）在曲線y=

1

3

x³+

4

3

上，且y′=x²，
∴在點P（2，4）處的切線的斜率為k₁=4．
∴曲線在點P（2，4）處的切線方程為y-4=4（x-2），即4x-y-4=0；
（2）設(shè)曲線y=

1

3

x³+

4

3

與過點P（2，4）的切線相切于點A（x₀，

1

3

x₀³+

4

3

），
則切線的斜率k=x₀²，
∴切線方程為y-（

1

3

x₀³+

4

3

）=x₀²（x-x₀），
∵點P（2，4）在切線上，
∴x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0．
（3）設(shè)切點為（x₀，y₀）
則切線的斜率為k=x₀²=1，x₀=±1．切點為（1，

5

3

），（-1，1）
∴切線方程為y-1=x+1或y-

5

3

=x-1，即x-y+2=0或3x-3y+2=0．

點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，是一道綜合題．學(xué)生在解決此類問題一定要分清“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”；同時解決“過某點的切線”問題，一般是設(shè)出切點坐標(biāo)解決．