Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x+1，g（x）=sinx
（1）求h（x）=

g(x)-1

f(x)-2

，x∈（0，

π

6

）的值域
（2）若x∈[0，

π

2

]時(shí)，h（x）=f（x）-2m²g（x）的最小值為

1

2

，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）表示出h（x）=

g(x)-1

f(x)-2

，利用正弦函數(shù)的值域，結(jié)合二次函數(shù)求解x∈（0，

π

6

）的值域
（2）若x∈[0，

π

2

]時(shí)，化簡(jiǎn)h（x）=f（x）-2m²g（x）的表達(dá)式，通過(guò)函數(shù)的最小值為

1

2

，即可求實(shí)數(shù)m的值．

解答： 解：（1）h（x）=

g(x)-1

f(x)-2

=

sinx-1

cos2x-1

=

sinx-1

-sin2x

=-

1

sinx

+(

1

sinx

)2…（3分）
設(shè)t=

1

sinx

，∵sinx∈(0，

1

2

)∴t∈(2，+∞)…（4分）．
h（t）=t²-t在（2，+∞）為遞增函數(shù)，
故h（t）＞2²-2=2…（6分）
所以h（x）的值域?yàn)椋?，+∞）…（8分）
（2）I（x）=cos²x+1-2m²sinx
=-sin²x-2m²sinx+2
=-（sinx+m²）²+m⁴+2 …（10分）
又x∈[0，

π

2

]則sinx∈[0，1]
當(dāng)0≤m2＜

1

2

時(shí)，I（x）的最小值I(

π

2

)=-(1+m2)2+m4+2=

1

2

．
∴m2=

1

4

，∴m=±

1

2

…（12分）
當(dāng)m2≥

1

2

時(shí)，I（x）的最小值f(0)=-(0+m2)2+m4+2=

1

2

．∴m無(wú)解
綜上，m=±

1

2

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題看三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．