Question

15．對(duì)于函數(shù)f（x）、g（x）和區(qū)間D，如果存在x₀∈D，使得|f（x₀）-g（x₀）|≤1，則稱x₀是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間D上的“互相接近點(diǎn)”．現(xiàn)給出兩個(gè)函數(shù)：
①f（x）=x²，g（x）=2x-2；
②$f（x）=\sqrt{x}$，g（x）=x+2；
③f（x）=e^-x+1，$g（x）=-\frac{1}{e}$；
④f（x）=lnx，g（x）=x．
則在區(qū)間（0，+∞）上存在唯一“互相接近點(diǎn)”的是（　�。�

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②③
• D． ①④

Answer 1

分析 分別求出|f（x）-g（x）|的最小值即可判斷出“互相接近點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．

解答 解：對(duì)于①，f（x）-g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，
令|（x-1）²+1|≤1得x=1．
∴f（x）與g（x）在（0，+∞）上有唯一“互相接近點(diǎn)”．
對(duì)于②，g（x）-f（x）=x-$\sqrt{x}$+2=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$≥$\frac{7}{4}$，
∴f（x）與g（x）在（0，+∞）上沒(méi)有“互相接近點(diǎn)”．
對(duì)于③，f（x）-g（x）=e^-x+1+$\frac{1}{e}$＞1+$\frac{1}{e}$＞1，
∴f（x）與g（x）在（0，+∞）上沒(méi)有“互相接近點(diǎn)”．
對(duì)于④，令y=g（x）-f（x）=x-lnx，則y′=1-$\frac{1}{x}$，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y′＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，y′＞0，
∴y=x-lnx在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y取得極小值即最小值1，
∴f（x）與g（x）在（0，+∞）上有唯一“互相接近點(diǎn)”．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．