Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

6

）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）已知關(guān)于x的方程f（x）=2t在(

π

6

，

2π

3

)上有且只有一個(gè)根，求t的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈(

π

6

，

2π

3

)時(shí)，若不等式2[f（x）]²+af（x）+a＞2（9）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件根據(jù)y=Asin（ωx+）的周期等于 T=

2π

ω

可得結(jié)論．
（2）根據(jù)2x-

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

）．函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=2t只有一個(gè)交點(diǎn)，可得2t=1或-

1

2

＜2t≤

1

2

，由此解得a的范圍．
（3）當(dāng)x∈(

π

6

，

2π

3

)時(shí)，-

1

2

＜f(x)≤1，設(shè)f（x）=t(-

1

2

＜t≤1)，即a＞2（1-t），(-

1

2

＜t≤1)恒成立．求得2（1-t）的范圍，可得a的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

6

）的最小正周期為T=π．
（2）∵x∈(

π

6

，

2π

3

)上，∴2x-

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

）．
由于關(guān)于x的方程f（x）=2t在(

π

6

，

2π

3

)上有且只有一個(gè)根，故函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=2t只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴2t=1或-

1

2

＜2t≤

1

2

，解得 t=

1

2

或-

1

4

＜t≤

1

4

．
（3）當(dāng)x∈(

π

6

，

2π

3

)時(shí)，-

1

2

＜f(x)≤1．
設(shè)f（x）=t(-

1

2

＜t≤1)，不等式2[f（x）]²+af（x）+a＞2恒成立?2t²+at+a-2＞0，(-

1

2

＜t≤1)恒成立．
?a（t+1）＞2（1-t²），(-

1

2

＜t≤1)恒成立．
又因?yàn)閠+1＞0，所以?a＞2（1-t），(-

1

2

＜t≤1)恒成立．
又2（1-t）∈[0，3），所以a≥3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的周期性，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．