Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁＝1，a_n＝＋2 (n－1) (n∈N^*)．

(1)求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并分別寫出a_n和S_n關(guān)于n的表達(dá)式；

(2)是否存在自然數(shù)n，使得S₁＋＋＋…＋－(n－1)²＝2 013？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．

（3）設(shè),，是否存在最大的整數(shù)m，使得對任意n∈N^*均有T_n＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解　(1)由a_n＝＋2(n－1)，得S_n＝na_n－2n(n－1) (n∈N^*)．

當(dāng)n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝na_n－(n－1)a_n－1－4(n－1)，

即a_n－a_n－1＝4，故數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列．

于是，a_n＝4n－3，S_n＝＝2n²－n (n∈N^*)．

(2)由S_n＝na_n－2n(n－1)，得＝2n－1 (n∈N^*)，

又S₁＋＋＋…＋－(n－1)²＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)²＝n²－(n－1)²＝2n－1.

令2n－1＝2 013，得n＝1 007，即存在滿足條件的自然數(shù)n＝1 007.

（3）

要使T_n＞總成立，需＜T₁=成立，即m＜8且m∈Z，故適合條件的m的最大值為7.