Question

1．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左頂點和上頂點分別為A，B，左、右焦點分別是F₁，F₂，在線段AB上有且僅有一個點P滿足PF₁⊥PF₂，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• C． $\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可求得AB的方程，設出P點坐標，代入AB得方程，由PF₁⊥PF₂，得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，結合橢圓的離心率的性質即可求得答案．

解答 解：依題意，作圖如下：A（-a，0），B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴直線AB的方程為：$\frac{x}{-a}+\frac{y}=1$，整理得：bx-ay+ab=0，
設直線AB上的點P（x，y）
則bx=ay-ab，
∴x=$\frac{a}$y-a，
∵PF₁⊥PF₂，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x，-y）•（c-x，-y）=x²+y²-c²
=（$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$）²+y²-c²，
令f（y）=（$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$）²+y²-c²，
則f′（y）=2（$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$y-a）×$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$+2y，
∴由f′（y）=0得：y=$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+^{2}}$，于是x=-$\frac{a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\frac{a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$）²+（$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+^{2}}$）²-c²=0，
整理得：$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=c²，又b²=a²-c²，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴e⁴-3e²+1=0，
∴e²=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，又橢圓的離心率e∈（0，1），
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
橢圓的離心率$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查橢圓的性質，向量的數量積的坐標表示，考查直線的方程的運用，著重考查橢圓離心率，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．