Question

已知向量

a

=（

3

sinωx，cosωx），

b

=（cosωx，cosωx），其中ω＞0，記函數(shù)f（x）=

a

•

b

，若f（x）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）設(shè)0≤α≤

π

3

，且f（

α

2

）=

1+ 3

2

，試求sinα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（I）由函數(shù)f（x）=

a

•

b

轉(zhuǎn)化為sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，利用周期公式求得ω；
（Ⅱ）利用第一問的結(jié)果，直接求出α的大小，然后求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx（2分）
=

3

2

sin2ωx+

1

2

（1+cos2ωx）
=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

（4分）
∵ω＞0，∴T=π=

2π

2ω

，∴ω=1（6分）
（Ⅱ）f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
f（

α

2

）=

1+ 3

2

=sin（α+

π

6

）+

1

2

，∴sin（α+

π

6

）=

3

2

，∵0≤α≤

π

3

，∴α+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，
∴α+

π

6

=

π

3

，∴α=

π

6

∴sinα=

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用向量運(yùn)算將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)，進(jìn)一步研究三角函數(shù)的周期性和值域．