Question

【題目】如下圖所示的三棱柱中，棱底面， ， ， ， ， 分別是， ， 的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求為二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）．

【解析】試題分析： 平面， 平面．

（Ⅱ）結(jié)合建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求二面角的余弦.

試題解析：（Ⅰ）證明：

如下圖，取的中點(diǎn)，

連接， ，

在三棱柱中，

，

，

M，N分別是， 的中點(diǎn)，

，

底面， 平面，

， 平面，

平面．

（Ⅱ）解：設(shè)，作，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系為 (點(diǎn)O與點(diǎn)A重合)，

則， ，

由題意，D為BC的中點(diǎn)，

， ，

所以， ， ，

， ，

由M，N分別是， 的中點(diǎn)， ，

所以， ， ，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

， ，

則

取，則， ，

于是．

同理可得平面ADN的一個(gè)法向量為．

設(shè)二面角的平面角為，

由題意知， 為銳角，

，

因此，二面角的余弦值為．