Question

 

已知拋物線C₁:y²=4x的焦點(diǎn)與橢圓C₂:的右焦點(diǎn)F₂重合，F(xiàn)₁是橢圓的左焦點(diǎn)；

（Ⅰ）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，點(diǎn)C在拋物線y²=4x上運(yùn)動(dòng)，求ABC重心G的軌跡方程；

（Ⅱ）若P是拋物線C₁與橢圓C₂的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠PF₁F₂=，∠PF₂F₁=,求cos的值及PF₁F₂的面積。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 _{解：（Ⅰ）設(shè)重心G(x,y)，則  整理得將(*)式代入y2=4x中，得(y+1)2=  ∴重心G的軌跡方程為(y+1)2=.……………6分}

 

_{(Ⅱ)  ∵橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn)，由y2=4x得F2(1,0)，∴b2=8，橢圓方程為。設(shè)P(x1,y1)，由得，∴x1=，x1=-6(舍).∵x=-1是y2=4x的準(zhǔn)線，即拋物線的準(zhǔn)線過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F1。}

_{設(shè)點(diǎn)P到拋物線y2=4x的準(zhǔn)線的距離為PN，則︱PF2︱=︱PN︱.}

_{又︱PN︱=x1+1=,∴.}

_{過(guò)點(diǎn)P作PP1⊥x軸，垂足為P1，在Rt△PP1F1中，cosα=在Rt△PP1F2中，cos(л-β)=,cosβ=,∴cosαcosβ=。}

_{∵x1=,∴∣PP1∣=,∴.………………12分}