Question

（08年唐山一中一模）（12分） 已知拋物線(xiàn)C₁:y²=4x的焦點(diǎn)與橢圓C₂:的右焦點(diǎn)F₂重合，F(xiàn)₁是橢圓的左焦點(diǎn)。

（Ⅰ）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)y²=4x上運(yùn)動(dòng)，求ABC重心G的軌跡方程；

（Ⅱ）若P是拋物線(xiàn)C₁與橢圓C₂的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠PF₁F₂=，∠PF₂F₁=,求cos的值及PF₁F₂的面積.

Answer 1

解析:（Ⅰ）設(shè)重心G(x,y)，則  整理得 將

(*)式代入y²=4x中，得(y+1)²=  ∴重心G的軌跡方程為(y+1)²=.……………6分

 

(Ⅱ)  ∵橢圓與拋物線(xiàn)有共同的焦點(diǎn)，由y²=4x得F₂(1,0)，∴b²=8，橢圓方程為。設(shè)P(x₁,y₁)，由得，∴x₁=，x₁=-6(舍).∵x=-1是y²=4x的準(zhǔn)線(xiàn)，即拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F₁。

設(shè)點(diǎn)P到拋物線(xiàn)y²=4x的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為PN，則PF₂=PN.

又PN=x₁+1=,∴.

過(guò)點(diǎn)P作PP₁⊥x軸，垂足為P₁，在Rt△PP₁F₁中，cosα=在Rt△PP₁F₂中，cos(л-β)=,cosβ=,∴cosαcosβ=。

∵x₁=,∴PP₁=,∴.………………12分