【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD=2，

E、F分別為CD、PB的中點．

（1）求證：EF⊥平面PAB；

（2）設，求直線AC與平面AEF所成角θ的正弦值．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求出直線EF所在的向量，再求出平面內(nèi)兩條相交直線所在的向量，然后利用向量的數(shù)量積為0，根據(jù)線面垂直的判定定理得到線面垂直．

（2）求出平面的法向量以及直線所在的向量，再利用向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉(zhuǎn)化為線面角，即可解決問題．

解：以D為從標原點，DC、DA、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系D-xyz．設AB=a，

則A（0，2，0），B（a，2，0），C（a，0，0），D（0，0，0，），p（0，0，2），

（1）由題意可得：=0×0+1×2+1×（-2）=0，=0×a+1×2+1×（-2）=0

∴EF⊥PA，EF⊥PB．

∴EF⊥平面PAB．

（2）AB=2=（0，1，1）．

設平面AEF的法向量，

則

令y=1，則x=，所以

又．

所以sinθ= ．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)．

（1）若函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）設a＝， (， )， 是的導函數(shù)．①若對任意的x＞0， ＞0，求證：存在，使＜0；②若，求證： ＜．

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【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）令，是否存在實數(shù)，當（是自然常數(shù)）時，函數(shù)的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

（3）當時，證明：.

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【題目】已知函數(shù)．下列命題：（ ）

①函數(shù)的圖象關于原點對稱； ②函數(shù)是周期函數(shù)；

③當時,函數(shù)取最大值；④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是

（A）①③ （B）②③ （C）①④ （D）②④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某城市交通部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了100人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖.

（1）求圖中x的值；

（2）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；

（3）已知滿意度評分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)3:2，若在滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進行座談，求2人均為男生的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓和雙曲線有共同焦點，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為（ ）

A. 3B. 2C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知平面內(nèi)兩點M（4，﹣2），N（2，4）.

（1）求MN的垂直平分線方程；

（2）直線l經(jīng)過點A（3，0），且點M和點N到直線l的距離相等，求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在直三棱柱中， ，點分別是的中點.

（1）求證： ∥平面；

（2）若，求證： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，點到兩點的距離之和為4，設點的軌跡為,直線與交于兩點。

（Ⅰ）寫出的方程;

（Ⅱ）若，求的值。

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