Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右兩個頂點分別是A₁，A₂，左右兩個焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，P是雙曲線上異于A₁，A₂的任意一點，則下列命題中真命題為

 

．
①|(zhì)|PA₁|-|PA₂||=2a；
②直線PA₁，PA₂的斜率之積等于定值

b2

a2

；
③使得△PF₁F₂為等腰三角形的點P有且僅有四個；
④若

PA1

•

PA2

=b²，則

PF1

•

PF2

=0；
⑤由P點向兩條漸近線分別作垂線，垂足為M，N，則△PMN的面積為定值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線定義，①錯誤；利用斜率公式，求出直線PA₁，PA₂的斜率之積；分類討論，可得使得△PF₁F₂為等腰三角形的點P有八個；利用向量的數(shù)量積公式，可得結(jié)論；△PMN的面積S=

1

2

|PM|•|PN|sin∠MPN=

a2b2

2c2

sin∠MON，而∠MON為定角，則△PMN的面積為定值，⑤正確

解答： 解：由雙曲線定義，①錯誤；
設(shè)P（x₀，y₀），由A₁（-a，0），A₂（a，0），∴kPA1•kPA2=

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=

y02

x02-a2

，
又

x02

a2

-

y02

b2

=1，∴y02=

b2

a2

(x02-a2)，kPA1•kPA2=

b2

a2

，故②正確；
若P在第一象限，則當PF₁=2c時，PF₂=2c-2a，△PF₁F₂為等腰三角形；
當PF₂=2c時，PF₁=2c+2a，△PF₁F₂也為等腰三角形；因此使得△PF₁F₂為等腰三角形的點P有八個，故③錯誤；由

PA1

•

PA2

=x02+y02-a²=b²，∴x02+y02=c2，從而

PF1

•

PF2

=x02+y02-c2=0，故④正確；
兩漸近線方程分別為y=

b

a

x和y=-

b

a

x，點P到兩漸近線的距離分別為|PM|=

|bx0-ay0|

c

，|PN|=

|bx0+ay0|

c

，則|PM|•|PN|=

|b2x02-a2y02|

c2

=

a2b2

c2

，不論P點在哪個位置，總有∠MPN=∠MON或∠MPN+∠MON=180°，所以△PMN的面積S=

1

2

|PM|•|PN|sin∠MPN=

a2b2

2c2

sin∠MON，而∠MON為定角，則△PMN的面積為定值，⑤正確．
故答案為：②④⑤．

點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查數(shù)量積公式，考查學生的計算能力，難度大．