Question

已知直線l：x-y+10=0，橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1．在以橢圓C的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)并與直線l有公共點(diǎn)的所有橢圓中，長軸最短的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)與橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)相同的橢圓方程為

x2

m+16

+

y2

m

=1（m＞0）．當(dāng)直線l與此橢圓相切時(shí)，此橢圓的長軸最短．把x-y+10=0代入

x2

m+16

+

y2

m

=1（m＞0）．化為（2m+16）y²-20my+84m-m²=0，令△=0，解出即可．

解答： 解：設(shè)與橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)相同的橢圓方程為

x2

m+16

+

y2

m

=1（m＞0）．
當(dāng)直線l與此橢圓相切時(shí)，此橢圓的長軸最短．
把x-y+10=0代入

x2

m+16

+

y2

m

=1（m＞0）．
化為：（2m+16）y²-20my+84m-m²=0，
令△=400m²-4（2m+16）（84m-m²）=0，
化為m²-26m-672=0，m＞0．
解得m=42．
∴要求的橢圓的方程為

x2

58

+

y2

42

=1．
故答案為：

x2

58

+

y2

42

=1．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．