Question

（本題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，在棱上．

（I）當時，求證平面

（II）當二面角的大小為時，求直線與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（I）見解析（II）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）在平行四邊形中，

由，，，

易知，                                                        ……2分

又平面，所以平面,∴，

在直角三角形中，易得，

在直角三角形中，，，又，∴，

可得

.

∴，                                                        ……5分

又∵，∴平面．                               ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，

可知為二面角的平面角，

，此時為的中點.                                     ……8分

過作,連結(jié),則平面平面,

作,則平面,連結(jié),

可得為直線與平面所成的角．

因為,,

所以.                                         ……10分

在中，，

直線與平面所成角的正弦值為.                          ……12分

解法二：依題意易知，平面ACD．以A為坐標原點，AC、AD、SA分別為軸建立空間直角坐標系，則易得，

（Ⅰ）由有，                                 ……3分

易得，從而平面．                             ……6分

 (Ⅱ)由平面，二面角的平面角.

又，則 為的中點，

即 ,                                                  ……8分

設平面的法向量為

則，令,得，                  ……10分

從而，

直線與平面所成角的正弦值為.                         ……12分

考點：本小題主要考查線面垂直的證明和線面角的求法，考查學生的空間想象能力和運算求解能力.

點評：解決空間立體幾何問題可以用傳統(tǒng)的方法證明也可以用向量方法來證明，用傳統(tǒng)方法證明時，要把證明所用的定理的條件擺清楚，缺一不可，用向量方法時，運算量比較大.