Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間;

（Ⅱ）若在上是單調函數(shù)，求的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）或或

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的定義域，然后再求導數(shù)得，分a=0，a＞0，a＜0對導數(shù)的符號進行討論，即可求出函數(shù)的單調性；（Ⅱ）結合（Ⅰ）中的函數(shù)單調性，對a進行分類討論，又x∈（1，2），分a≤0，0＜2a≤1，1＜2a＜2，2a≥2進行分類討論，即可求出結果．

試題解析：（Ⅰ） 的定義域為．．

（1）當時，，則，時，為增函數(shù)；

（2）當時，由得，或，由于此時，

所以時,為增函數(shù)，時，為增函數(shù)；

由得，，考慮定義域，當，為減函數(shù)，

時，為減函數(shù)；

（3）當時，由得，或，由于此時，所以

當時，為增函數(shù)，時，為增函數(shù)．

由得，，考慮定義域，當,為減函數(shù)，

時，為減函數(shù)．

綜上，當時，函數(shù)的單調增區(qū)間為,．

當時，函數(shù)的單調增區(qū)間為，,

單調減區(qū)間為，．

當時，函數(shù)的單調增區(qū)間為，

單調減區(qū)間為， 7分

（Ⅱ）【解析】

（1）當時，由（Ⅰ）可得，在單調增，且時．

（2）當時，即時，由（Ⅰ）可得，在單調增，即在單調增，且時．

（3）當時，即時，由（Ⅰ）可得，在上不具有單調性，不合題意．

（4）當，即時，由（Ⅰ）可得，在為減函數(shù)，同時需注意，滿足這樣的條件時在單調減，所以此時或．

綜上所述，或或．

考點：1．導數(shù)在函數(shù)單調性中的應用；2． 恒成立問題．