Question

已知函數（其中ω＞0），且函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為2π．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（-x）的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數f（A）的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可得：

=
=．
因為函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為2π，
所以T=，所以，
所以．
由f（x）=1可得sin（+）=．
∴cos（-x）=cos（x-）=-cos（x+）
=-[1-2sin²（+）]=2•（ ）²-1=-．
（Ⅱ）∵（2a-c）cosB=bcosC，并且結合正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．
∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=，B=，
∴0＜A＜．
∴＜+＜，所以＜sin（+）＜1．
又∵f（x）=sin（+）+，
∴f（A）=sin（+）+．
故函數f（A）的取值范圍是（1，）．
分析：（I）根據二倍角公式與兩角和的正弦公式可得：f（x）=，根據題意可得函數的周期，即可得到函數的解析式，進而根據二倍角公式求出答案．
（II）根據題意結合正弦定理可得：2sinAcosB=sin（B+C），所以cosB=，B=，所以可得＜+＜，所以＜sin（+）＜1，結合f（x）的解析式即可求出函數f（A）的取值范圍．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握三角的有關公式與正弦定理，以及三角函數的有關性質．