如圖，點是橢圓的一個頂點，的長軸是圓的直徑，、是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點，交橢圓于另一點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求面積的最大值及取得最大值時直線的方程.

 

（1）；當直線的方程為時，的面積取最大值.

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)題中條件求出和的值，進而求出橢圓的方程；（2）先設直線的方程為，先利用弦心距、半徑長以及弦長之間滿足的關(guān)系（勾股定理）求出直線截圓所得的弦長

，然后根據(jù)直線與兩者所滿足的垂直關(guān)系設直線，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出直線截橢圓的弦長，然后求出的面積的表達式，并利用基本不等式求出的面積的最大值，并求出此時直線的方程.

試題解析：（1）由題意得，

橢圓的方程為；

（2）設、、，

由題意知直線的斜率存在，不妨設其為，則直線的方程為，

故點到直線的距離為，又圓，

，

又，直線的方程為，

由，消去，整理得，

故，代入的方程得

，

設的面積為，則

，

，

當且僅當，即時上式取等號，

當時，的面積取得最大值，

此時直線的方程為

考點：1.橢圓的方程；2.直線與圓、橢圓的位置關(guān)系；3.基本不等式

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年廣東省韶關(guān)市高三4月高考模擬（二模）文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

由于工業(yè)化城鎮(zhèn)化的推進，大氣污染日益加重，空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣頻率增大，大氣污染可引起心悸、胸悶等心臟病癥狀.為了解某市患心臟病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院心血管科隨機的對入院50位進行調(diào)查得到了如下列聯(lián)表：問有多大的把握認為是否患心臟病與性別有關(guān). 答：．

A．95% B．99% C．99.5% D．99.9%

 

患心臟病

不患心臟病

合計

男

20

5

25

女

10

15

25

合計

30

20

50

 

參考臨界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

K

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式： 其中n = a + b + c + d）．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年廣東省肇慶市高三3月第一次模擬文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知圓的圓心是直線與軸的交點，且圓與直線 相切，則圓的方程是( )

A． B．

C． D．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年廣東省湛江市高三高考模擬測試二理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

某小區(qū)有個連在一起的車位，現(xiàn)有輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的個車位連在一起，那么不同的停放方法共有 __________種.（用數(shù)字作答）

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年廣東省湛江市高三高考模擬測試二理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

下列命題正確的是（ ）

A.若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行

B.若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行

C.若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行

D.若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年廣東省湛江市高三高考模擬測試二文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

如圖所示，圓的直徑，為圓周上一點，，過作圓的切線，則點到直線的距離___________.

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年廣東省湛江市高三高考模擬測試二文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

下列命題正確的是（ ）

A.若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行

B.若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行

C.若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行

D.若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年廣東省汕頭市高三3月高考模擬考試文科試卷（解析版） 題型：填空題

已知、的取值如下表：

從散點圖可以看出與線性相關(guān)，且回歸方程,則.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年廣東省梅州市高三3月總復習質(zhì)檢文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知雙曲線C的焦點、實軸端點恰好是橢圓的長軸的端點、焦點，則雙曲線C的方程為_______.

 

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