Question

如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．

∥，，，．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）線段上是否存在點(diǎn)，使// 平面？

若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．

∥，，，．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）線段上是否存在點(diǎn)，使// 平面？

若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．

解：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，．

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/06/17/18/2015061718512947599009.files/image145.gif'>，所以．                           

因?yàn)樗倪呅?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/06/17/18/2015061718512947599009.files/image057.gif'>為直角梯形，，，

所以四邊形為正方形，所以．  

所以平面．     所以 ．       

 

（2）解法1：因?yàn)槠矫?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/06/17/18/2015061718512947599009.files/image150.gif'>平面，且

所以BC⊥平面

則即為直線與平面所成的角

設(shè)BC=a，則AB=2a，，所以

則直角三角形CBE中，

即直線與平面所成角的正弦值為．             

解法2：因?yàn)槠矫?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/06/17/18/2015061718512947599009.files/image150.gif'>平面，且 ，

所以平面，所以．

由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)槿�角�?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/06/17/18/2015061718512947599009.files/image159.gif'>為等腰直角三角形，所以，設(shè)，

則．

所以 ，平面的一個(gè)法向量為．

設(shè)直線與平面所成的角為，

所以 ，           

即直線與平面所成角的正弦值為．     

（3）解：存在點(diǎn)，且時(shí)，有// 平面．       

證明如下：由 ，，所以．

設(shè)平面的法向量為，則有

所以   取，得．

因?yàn)?，且平面，所以 // 平面．

即點(diǎn)滿足時(shí)，有// 平面．