Question

已知f（x）=

x

2x+1

，數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（I）證明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n•a_n+1，求數(shù)列{b_n}的前10項和S₁₀．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由a_n+1=f（a_n）=

an

2an+1

，兩邊取倒數(shù)可得

1

an+1

-

1

an

=2，即可證明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）利用裂項法，求數(shù)列{b_n}的前10項和S₁₀．

解答： （I）證明：∵a_n+1=f（a_n）=

an

2an+1

∴兩邊取倒數(shù)可得

1

an+1

-

1

an

=2，
∴數(shù)列{

1

an

}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（I）知，

1

an

=2n-1，∴a_n=

1

2n-1

，
∴b_n=a_n•a_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

19

-

1

21

）=

10

21

．

點評：本題主要考查由遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列的證明，考查裂項法求和，屬于中檔題．