Question

下列不等式對任意的x∈（0，+∞）恒成立的是（　�。�

• A、sinx＞-x+1
• B、x-x²＞0
• C、x＞ln（1+x）
• D、e²＞ex

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：由極限思想分析A錯誤；取特值驗證B，D錯誤；通過構造函數(shù)并求導分析得到C正確．

解答： 解：當x在（0，+∞）內趨于0時，sinx趨于0，而1-x趨于1，選項A錯誤；
取x=1時，1-1²=0，選項B錯誤；
令f（x）=x-ln（1+x），
∵f′(x)=1-

1

1+x

=

x

1+x

在x∈（0，+∞）上恒大與0，
∴f（x）在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0．
即x＞ln（1+x）．選項C正確；
取x=e，得e²=ex，選項D錯誤．
∴三個選項中恒成立的是x＞ln（1+x）．
故選：C．

點評：本題考查恒成立問題，考查了特值驗證法，訓練了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，是中檔題．