Question

（本小題滿分12分）函數(shù)f(x)=ax²－2(a－1)x－2lnx ,a>0

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)對于函數(shù)圖像上的不同兩點(diǎn)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，如果在函數(shù)圖像上存在點(diǎn)P(x₀,y₀)（其中x₀在x₁與x₂之間），使得點(diǎn)P處的切線l平行于直線AB，則稱AB存在“伴隨切線”，當(dāng)x₀=  時，又稱AB存在“中值伴隨切線”.試問：在函數(shù)f(x)的圖像上是否存在不同兩點(diǎn)A,B，使得AB存在“中值伴隨切線”？若存在，求出A,B的坐標(biāo)；若不存在，說明理由

 

Answer 1

【答案】

(1) 遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是(2)

【解析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對于是否存在問題，先假設(shè)存在，把結(jié)論當(dāng)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法得出函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性得出不等式，推出與已知條件矛盾，得出假設(shè)不成立

解：（1），

，

所以：遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；………………………………………6分

（2）假設(shè)存在不同兩點(diǎn)，（不妨設(shè)），使得存在“中值伴隨切線”，則，………………………………………7分

化簡得：，即，……………………………8分

設(shè)函數(shù)，則，

當(dāng)時，，即在上是增函數(shù)，………………………10分

又，所以，即，與上面結(jié)論矛盾，

所以在函數(shù)的圖像上是不存在不同兩點(diǎn)，使得存在“中值伴隨切線”.12分