Question

若a＞1，設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+x-2的零點(diǎn)為m，g（x）=log_ax+x-2的零點(diǎn)為n，則

1

m

+

1

n

的取值范圍是（　�。�

• A、（2，+∞）
• B、（

  7

  2

  ，+∞）
• C、（4，+∞）
• D、（

  9

  2

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知m+n=2，可得

1

m

+

1

n

=

1

2

（

1

m

+

1

n

）（m+n）=

1

2

（2+

m

n

+

n

m

），由基本不等式可得．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=a^x+x-2的零點(diǎn)為m，
∴m可看作y=a^x與y=2-x圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴0＜m＜1，
同理∵g（x）=log_ax+x-2的零點(diǎn)為n，
n可看作y=log_ax與y=2-x圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴1＜n＜2，
由y=a^x與y=log_ax的對(duì)稱(chēng)性可知m+n=2，
∴

1

m

+

1

n

=

1

2

（

1

m

+

1

n

）（m+n）=

1

2

（2+

m

n

+

n

m

）
≥

1

2

（2+2

m n • n m

）=2，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)，取等號(hào)，但m≠n，
∴

1

m

+

1

n

的取值范圍為：（2，+∞）
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，涉及函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性和基本不等式，屬中檔題．