Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個頂點(diǎn)為A₁（-a，0），A₂（a，0），與y軸平行的直線交橢圓于P₁、P₂，求A₁P₁與A₂P₂交點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P₁（x，y），則P₂（x，-y），由橢圓的參數(shù)方程，分別求出A₁P₁的方程和A₂P₂的方程（含參數(shù)θ），聯(lián)立方程后，消去參數(shù)θ即可得到滿足條件的曲線方程．

解答： 解：設(shè)P₁（x，y），則P₂（x，-y）
P₁，P₂在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，則x=asinθ，y=bcosθ
則A₁P₁的方程為

-a-x

0-y

=

asinθ+a

bcosθ

①
A₂P₂的方程為

a-x

0-y

=

-asinθ+a

bcosθ

②
聯(lián)立方程①，②得x=acscθ，y=bcotθ
消去θ可得A₁P₁與A₂P₂交點(diǎn)的軌跡方程

x2

a2

-

y2

b2

=1．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是軌跡方程，橢圓的簡單性質(zhì)，其中根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，求出A₁P₁的方程和A₂P₂的方程，進(jìn)而求出兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵．