Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項a₁=2013，公比q=-

1

2

，數(shù)列{a_n}前n項和記為S_n，前n項積記為T_n．
（1）證明：S₂≤S_n≤S₁；
（2）求n為何值時，T_n取得最大值；
（3）證明：若數(shù)列{a_n}中的任意相鄰三項按從小到大排列，則總可以使其成等差數(shù)列；若所有這些等差數(shù)列的公差按從小到大的順序依次記為d₁，d₂，…，d_n，則數(shù)列{d_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的前n項和,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的前n項和公式由首項和公差能推導出S₂≤S_n≤S₁．
（2）由已知條件推導出當n≤10時，|T_n+1|＞|T_n|，當n≥11時，|T_n+1|＜|T_n|．從而得到當n=11時，|T_n|取得最大值，由此求出當n=12時，T_n最大．
（3）由已知條件得|a_n|隨n增大而減小，a_n奇數(shù)項均正，偶數(shù)項均負，分類討論能證明數(shù)列{d_n}為等比數(shù)列．

解答： （1）證明：∵Sn=S1+

a2[1-(- 1 2 )n-1]

1-(- 1 2 )

=S1-

1

3

a1[1-(-

1

2

)n-1]≤S1，
當n=1時，等號成立；
同理Sn=S2+

a3[1-(- 1 2 )n-2]

1-(- 1 2 )

=S2+

1

6

a1[1-(-

1

2

)n-2]≥S2，
當n=2時，等號成立，
∴S₂≤S_n≤S₁．
（2）解：∵

|Tn+1|

|Tn|

=

|a1•a2…an•an+1|

|a1•a2…an|

=|an+1|=

2013

2n

．
又∵

2013

211

＜1＜

2013

210

，
∴當n≤10時，|T_n+1|＞|T_n|，
當n≥11時，|T_n+1|＜|T_n|．
∴當n=11時，|T_n|取得最大值，
又∵T₁₀＜0，T₁₁＜0，T₉＞0，T₁₂＞0，
∴T_n的最大值是T₉和T₁₂中的較大者，
又∵

T12

T9

=a10•a11•a12=[2013•(-

1

2

)10]3＞1，
∴T₁₂＞T₉．因此當n=12時，T_n最大．
（3）證明：∵an=2013•(-

1

2

)n-1，
∴|a_n|隨n增大而減小，a_n奇數(shù)項均正，偶數(shù)項均負，
①當k是奇數(shù)時，設{a_n}中的任意相鄰三項按從小到大排列為a_k+1，a_k+2，a_k，
則ak+1+ak=a1(-

1

2

)k+a1(-

1

2

)k-1=

a1

2k

，2ak+2=2a1(-

1

2

)k+1=

a1

2k

，
∴a_k+1+a_k=2a_k+2，因此a_k+1，a_k+2，a_k成等差數(shù)列，
公差dk=ak+2-ak+1=a1[(-

1

2

)k+1-(-

1

2

)k]=

3a1

2k+1

；
②當k是偶數(shù)時，設{a_n}中的任意相鄰三項按從小到大排列為a_k，a_k+2，a_k+1，
則ak+1+ak=a1(-

1

2

)k+a1(-

1

2

)k-1=-

a1

2k

，
2ak+2=2a1(-

1

2

)k+1=-

a1

2k

．
∴a_k+1+a_k=2a_k+2，因此a_k，a_k+2，a_k+1成等差數(shù)列，
公差dk=ak+2-ak=a1[(-

1

2

)k+1-(-

1

2

)k-1]=

3a1

2k+1

，
綜上可知，{a_n}中的任意相鄰三項按從小到大排列，總可以使其成等差數(shù)列，
且dk=

3a1

2k+1

，∵

dn-1

dn

=2，
∴數(shù)列{d_n}為等比數(shù)列．

點評：本題考查不等式的證明，考查數(shù)列前n項和最大值的求法，考查等比數(shù)列的證明，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列性質的合理運用．