Question

證明：兩個(gè)等差數(shù)列的相同的項(xiàng)按原來的前后次序組成一個(gè)等差數(shù)列，且公差為原來兩個(gè)公差的最小公倍數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：分別設(shè)出兩個(gè)等差數(shù)列，求出它們共同的第n項(xiàng)和第n+1項(xiàng)，兩項(xiàng)作差后說明當(dāng)兩項(xiàng)的差為原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)時(shí)為常數(shù)，符合等差數(shù)列的概念，從而說明兩個(gè)等差數(shù)列的相同的項(xiàng)按原來的前后次序組成一個(gè)等差數(shù)列，且公差為原來兩個(gè)公差的最小公倍數(shù)．

解答： 證明：設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列分別為{a_n}，{b_n}，
首項(xiàng)分別為a₁，b₁，公差分別為d₁，d₂，
再設(shè)其第n個(gè)相同的項(xiàng)為c_n，
則c_n=a_i=a₁+（i-1）d₁，c_n=b_j=b₁+（j-1）d₂，
再設(shè)其第n+1個(gè)相同的項(xiàng)為c_n+1，
則c_n+1=a_k=a₁+（k-1）d₁=c_n+（k-i）d₁，
c_n+1=b_m=b₁+（m-1）d₂=c_n+（m-j）d₂，
即c_n+1-c_n=（k-i）d₁=（m-j）d₂，
令k-i=z₁，m-j=z₂（z1，z2∈N*），
則z₁d₁=z₂d₂，
∴當(dāng)z₁d₂為d₁，d₂的最小公倍數(shù)時(shí)，能夠兩個(gè)等差數(shù)列的相同的項(xiàng)按原來的前后次序組成一個(gè)等差數(shù)列，且公差為原來兩個(gè)公差的最小公倍數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差關(guān)系的確定，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解與應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，屬難度較大的題目．