Question

（本小題滿分14分）如圖，是邊長為的正方形，是矩形，平面平面,為的中點(diǎn)．

（1）求證：//平面；

（2）若三棱錐的體積為，求二面角的正切值．

Answer 1

（1）見解析；（2） 求二面角的正切值為．

【解析】

試題解析：（1） 連接 AE，設(shè)BF∩AE＝O，連接OG，

∵四邊形形 ABEF 是矩形，∴O為 AE的中點(diǎn)，

∵G 為EC的中點(diǎn) ，∴OG 為△OAC 的中位線，

∴AC //OG 2分

∵OG平面BFG， AC平面BFG

∴AC //平面BFG 4分

（2） 平面ABCD⊥平面ABEF，ABEF 是矩形,

∴BE⊥AB ,又平面ABCD∩平面ABEF＝AB，

∴BE⊥面ABCD，同理可得BC⊥面ABEF 7 分

∵BC∩BE＝B，∴AB⊥面BCE ,則三棱柱 AFD-BEC 是直三棱柱，

∴ DC⊥面BEC， DC平面DCEF，

∴平面DCEF⊥平面BEC，又平面DCEF∩平面BEC＝EC，

作BH⊥EC，垂足為H，則BH⊥平面DCEF， 9 分

設(shè)BE＝a，，

∴? 10分

過點(diǎn)G 作GQ⊥BE ,垂足為Q,過點(diǎn)Q作QM⊥OE ，連接GM，

則∠GMQ為二面角E-BF-G的平面角 12分

又BC＝BE＝3, ，∴ 14分

向量法：平面ABCD⊥平面ABEF， ABEF是矩形，

∴BE⊥AB，又平面ABCD∩平面ABEF＝AB，

∴BE⊥面ABCD，同理可得BC⊥面ABEF，

∵BC∩BE＝B，∴AB⊥面BCE，則三棱柱AFD-BEC是直三棱柱，

∴AB，BE，BC兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系： 9 分

則B（0,3,0），F(xiàn)（3,0,0），E（3,3,0），，

∴ 10分

設(shè)平面的法向量為，由，

得 ，取x＝1，∴ 12分

又平面BFE 的一個法向量 13 分

∴，

∴所求二面角的平面角為銳角正切值為 14分

考點(diǎn)：考查了線面平行的判定，求二面角．