Question

設a為實常數，y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f（x）=-x²-4x+2，若f（x）≥a+1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：利用奇函數的性質可得：當x＞0時，f（x）=-f（-x）=x²-4x-2．由于f（x）≥a+1對一切x≥0成立，則只需x≥0時，f（x）_min≥a+1即可．
利用二次函數的性質即可得到x＞0時的函數最小值，即可得到結論．

解答： 解：設x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=-（-x）²-4（-x）+2=-x²+4x+2，
由于y=f（x）是定義在R上的奇函數，
當x=0時，則f（x）=0；
當x＞0時，則f（x）=-f（-x）=x²-4x-2．
由于f（x）≥a+1對一切x≥0恒成立，
則只需x≥0時，f（x）_min≥a+1即可．
①當x＞0時，由于f（x）=x²-4x-2的圖象開口向上，對稱軸為x=2，
則f（x）_min=（2）²-4×2-2=-6，
故-6≥a+1，解得a≤-7．
（2）當x=0時，f（0）=0≥a+1恒成立，解得a≤-1．
綜上可知：（-∞，-7]．

點評：熟練掌握奇函數的性質和二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．