Question

在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，若AB＝2，AA₁＝1，則點(diǎn)A到平面A₁BC的距離為(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

Answer 1

　B

[解析]　解法1：取BC中點(diǎn)E，連接AE、A₁E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥A₁E，垂足為F.

∵A₁A⊥平面ABC，∴A₁A⊥BC，

∵AB＝AC.∴AE⊥BC.

∴BC⊥平面AEA₁.

∴BC⊥AF，又AF⊥A₁E，

∴AF⊥平面A₁BC.

∴AF的長(zhǎng)即為所求點(diǎn)面距離．

AA₁＝1，AE＝，∴AF＝.

解法2：VA₁－ABC＝S_△ABC·AA₁＝××1＝.

又∵A₁B＝A₁C＝，

在△A₁BE中，A₁E＝＝2.

∴S△A₁BC＝×2×2＝2.

∴VA－A₁BC＝×S△A₁BC·h＝h.

∴h＝，∴h＝.

∴點(diǎn)A到平面A₁BC距離為.

解法3：設(shè)BC中點(diǎn)為O，∵△ABC為正三角形，

∴AO⊥BC，

以O為原點(diǎn)，直線(xiàn)AO，BC分別為x軸、y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則B(0，－1,0)，C(0,1,0)，A(－，0,0)，A₁(－，0,1)．

設(shè)n＝(x，y,1)為平面A₁BC的一個(gè)法向量，則