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判斷函數f(x)=
ax
x+1
在(-1,+∞)上的單調性,并證明.
考點:函數單調性的判斷與證明
專題:函數的性質及應用
分析:設-1<x1<x2,求出f(x1)-f(x2)的表達式,通過討論a的范圍,從而得出函數的單調區(qū)間.
解答: 證明:設-1<x1<x2,則f(x1)-f(x2)=
ax1
x1+1
-
ax2
x2+1

=
ax1(x2+1)-ax2(x1+1)
(x1+1)(x2+1)

=
a(x1-x2)
(x1+1)(x2+1)

∵-1<x1<x2,
∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0.
∴當a>0時,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函數y=f(x)在(-1,+∞)上單調遞增.
同理當a<0時,f(x1)-f(x2)>0,即f( x1)>f(x2),
∴函數y=f(x)在(-1,+∞)上單調遞減.
點評:本題考查了函數的單調性的證明,考查了分類討論思想,是一道中檔題.
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1
2
]
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1
2
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