Question

判斷函數f（x）=

ax

x+1

在（-1，+∞）上的單調性，并證明．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：設-1＜x₁＜x₂，求出f（x₁）-f（x₂）的表達式，通過討論a的范圍，從而得出函數的單調區(qū)間．

解答： 證明：設-1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

ax1

x1+1

-

ax2

x2+1

=

ax1(x2+1)-ax2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

a(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

∵-1＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0．
∴當a＞0時，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數y=f（x）在（-1，+∞）上單調遞增．
同理當a＜0時，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（ x₁）＞f（x₂），
∴函數y=f（x）在（-1，+∞）上單調遞減．

點評：本題考查了函數的單調性的證明，考查了分類討論思想，是一道中檔題．