【題目】已知圓O:x2+y2=3上的一動點M在x軸上的投影為N,點P滿足.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)若直線l與圓O相切,且交曲線C于點A,B,試求|AB|的最大值.
【答案】(1)3x2+2y2=9.(2)最大值為2
【解析】
(1)設(shè)根據(jù)已知,將
點坐標用
表示,代入圓
方程,即可求解;
(2)設(shè)直線l的方程為,根據(jù)條件求出
關(guān)系,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去
,得到關(guān)于
的方程,利用根與系數(shù)關(guān)系,求出
關(guān)于
的函數(shù),利用換元法,運用函數(shù)的單調(diào)性,即可求解.
(1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),∵,
∴(x 0﹣x,0﹣y)(0,0﹣y0),即有
,
點M在圓O:x2+y2=3上所以x02+y02=3,
代入得
,
∴點P的軌跡C為.
(2)由已知可得當直線l的斜率不存在時不合題意.
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+t,即kx﹣y+t=0.
∵圓O與直線l相切,∴圓O到直線l的距離,
∴t2=3(k2+1),
由可得(3+2k2)x2+4ktx+2t2﹣9=0,
恒成立.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則,
∵t2=3(k2+1),
∴|AB|
,
,其中
.
令,λ∈[1,+∞).
∵恒成立,∴g(λ)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(λ)≥g(1)=3,即,
,
.
故|AB|的最大值為2,當且僅當λ=1,即k=0時取等號.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,設(shè)點集,
令
.從集合Mn中任取兩個不同的點,用隨機變量X表示它們之間的距離.
(1)當n=1時,求X的概率分布;
(2)對給定的正整數(shù)n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).
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【題目】在平面直角坐標系中,已知點,
,動點
滿足直線
與
的斜率之積為
.記點
的軌跡為曲線
.
(1)求的方程,并說明
是什么曲線;
(2)若,
是曲線
上的動點,且直線
過點
,問在
軸上是否存在定點
,使得
?若存在,請求出定點
的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】三名工人加工同一種零件,他們在一天中的工作情況如圖所示,其中點的橫、縱坐標分別為第
名工人上午的工作時間和加工的零件數(shù),點
的橫、縱坐標分別為第
名工人下午的工作時間和加工的零件數(shù),
.記
為第
名工人在這一天中加工的零件總數(shù),記
為第
名工人在這一天中平均加工的零件數(shù),則
,
,
中的最大值與
,
,
中的最大值分別是( )
A.,
B.
,
C.,
D.
,
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【題目】在平面坐標系中中,已知直線l的參考方程為
(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為
(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動點,
(Ⅰ)求直線l和曲線C的直角坐標方程;
(Ⅱ)求點P到直線l的距離的最小值.
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【題目】小趙和小王約定在早上7:00至7:15之間到某公交站搭乘公交車去上學,已知在這段時間內(nèi),共有2班公交車到達該站,到站的時間分別為7:05,7:15,如果他們約定見車就搭乘,則小趙和小王恰好能搭乘同一班公交車去上學的概率為( )
A. B.
C.
D.
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【題目】某無縫鋼管廠只生產(chǎn)甲、乙兩種不同規(guī)格的鋼管,鋼管有內(nèi)外兩個口徑,甲種鋼管內(nèi)外兩口徑的標準長度分別為和
,乙種鋼管內(nèi)外兩個口徑的標準長度分別為
和
.根據(jù)長期的生產(chǎn)結(jié)果表明,兩種規(guī)格鋼管每根的長度
都服從正態(tài)分布
,長度在
之外的鋼管為廢品,要回爐熔化,不準流入市場,其他長度的鋼管為正品.
(1)在該鋼管廠生產(chǎn)的鋼管中隨機抽取10根進行檢測,求至少有1根為廢品的概率;
(2)監(jiān)管部門規(guī)定每種規(guī)格鋼管的“口徑誤差”的計算方式為:若鋼管的內(nèi)外兩個口徑實際長分別為,標準長分別為
,則“口徑誤差”為
,按行業(yè)生產(chǎn)標準,其中“一級品”“二級品”“合格品”的“口徑誤差”的范圍分別是
(正品鋼管中沒有“口徑誤差”大于
的鋼管),現(xiàn)分別從甲、乙兩種產(chǎn)品的正品中各隨機抽取100根,分別進行“口徑誤差”的檢測,統(tǒng)計后,繪制其頻率分布直方圖如圖所示:
甲種鋼管 乙種鋼管
已知經(jīng)銷商經(jīng)銷甲種鋼管,其中“一級品”的利潤率為0.3,“二級品”的利潤率為0.18,“合格品”的利潤率為0.1;經(jīng)銷乙種鋼管,其中“一級品”的利潤率為0.25,“二級品”的利潤率為0.15,“合格品”的利潤率為0.08,若視頻率為概率.
(�。┤艚�(jīng)銷商對甲、乙兩種鋼管各進了100萬元的貨,和
分別表示經(jīng)銷甲、乙兩種鋼管所獲得的利潤,求
和
的數(shù)學期望和方差,并由此分析經(jīng)銷商經(jīng)銷兩種鋼管的利弊;
(ⅱ)若經(jīng)銷商計劃對甲、乙兩種鋼管總共進100萬元的貨,則分別在甲、乙兩種鋼管上進貨多少萬元時,可使得所獲利潤的方差和最�。�
附:若隨機變量服從正態(tài)分布
,則
,
,
,
.
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【題目】某校要在一條水泥路邊安裝路燈,其中燈桿的設(shè)計如圖所示,AB為地面,CD,CE為路燈燈桿,CD⊥AB,∠DCE=,在E處安裝路燈,且路燈的照明張角∠MEN=
.已知CD=4m,CE=2m.
(1)當M,D重合時,求路燈在路面的照明寬度MN;
(2)求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值.
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【題目】為了研究不同性別在處理多任務(wù)時的表現(xiàn)差異,召集了男女志愿者各200名,要求他們同時完成多個任務(wù),包括解題、讀地圖、接電話.下圖表示了志愿者完成任務(wù)所需的時間分布.以下結(jié)論,對志愿者完成任務(wù)所需的時間分布圖表理解正確的是( )
①總體看女性處理多任務(wù)平均用時更短;
②所有女性處理多任務(wù)的能力都要優(yōu)于男性;
③男性的時間分布更接近正態(tài)分布;
④女性處理多任務(wù)的用時為正數(shù),男性處理多任務(wù)的用時為負數(shù).
A.①④B.②③C.①③D.②④
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