Question

已知冪函數(shù)f（x）=x^-m2+m+2（m∈Z）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設g（x）=f（x）-ax+1，a為實常數(shù)，求g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由條件可得-m²+m+2＞0，解得m的范圍m．再結合m∈Z，求得m的值，可得f（x）的解析式．
（2）由（1）知g（x）=x²-ax+1，再分①若

a

2

≤-1、②若-1＜

a

2

≤1、③若

a

2

＞1三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得g（x）_min．．

解答： 解：（1）因為冪函數(shù)f（x）=x^-m2+m+2 在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以-m²+m+2＞0，故-1＜m＜2．
又因為m∈Z，故m=0，或m=1，所以f（x）=x²．
（2）由（1）知g（x）=x²-ax+1，
①若

a

2

≤-1，即a≤-2時，g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
所以g（x）_{mi n}=g（-1）=a+2．
②若-1＜

a

2

≤1，即-2＜a≤2時，
g（x）在[-1，

a

2

]上單調(diào)遞減，[

a

2

，1]上單調(diào)遞增，
所以g（x）_min=g（

a

2

）=1-

a2

4

．
③若

a

2

＞1，即a＞2時，g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
所以g（x）_min=g（1）=2-a．
綜上：a≤-2時，g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為a+2；
-2＜a≤2時，g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為1-

a2

4

；
a＞2時，g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為2-a．

點評：本題主要考查冪函數(shù)額定義，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．