Question

（本小題共14分）如圖,在四面體中,平面,.是的中點(diǎn),是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足,求證：平面；

（Ⅲ）若,求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ）詳見(jiàn)解析（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即從證明線(xiàn)面垂直出發(fā)：又，（Ⅱ）證明線(xiàn)面平行，一般利用線(xiàn)面平行判定定理，即從證明線(xiàn)線(xiàn)平行出發(fā)，這一般可利用平面幾何知識(shí)得以證明：取BD中點(diǎn)O則易得四邊形為平行四邊形，所以，所以PQ//面BDC. （Ⅲ）求二面角，一般利用空間向量求解，先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面法向量，再利用向量數(shù)量積求夾角.

試題解析：（Ⅰ）, 2分

且

4分

（Ⅱ）證明：如圖所示,取BD中點(diǎn)O，且P是BM中點(diǎn)，

所以且；

取CD的四等分點(diǎn)H，使DH=3CH， 且AQ =3QC,

所以, 且，

所以，四邊形為平行四邊形，

所以，且,

所以PQ//面BDC. 9分

（Ⅲ）如圖建系,

則,,, 10分

設(shè)面的法向量

,

,即

令,則

設(shè)面的法向量 11分

即

令, 則 12分

所以二面角的大小為 14分

考點(diǎn)：面面垂直判定定理，線(xiàn)面平行判定定理，利用空間向量求二面角