Question

如圖，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2，
（Ⅰ）求證：AC∥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角A-FD-B的正切值；
（Ⅲ）求點(diǎn)D到平面BEF的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，取BE中點(diǎn)G，連接FG，OG，由已知條件推導(dǎo)出四邊形AFGO是平行四邊形，由此能夠證明AC∥平面BEF．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，以DA為x軸，以DC為y軸，以DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDF的法向量、平面ADF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-FD-B的正切值；
（Ⅲ）利用向量法能求出點(diǎn)D到平面BEF的距離．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)AC∩BD=O，取BE中點(diǎn)G，連接FG，OG，
∴OG∥DE，且OG=

1

2

DE．
∵AF∥DE，DE=2AF，
∴AF∥OG，且OG=AF，
∴四邊形AFGO是平行四邊形，F(xiàn)G∥OA．
∴FG?平面BEF，AO?平面BEF，
∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．
（2）解：∵正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，
∴以D為原點(diǎn)，以DA為x軸，以DC為y軸，以DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵DE=DA=2AF=2，
∴B（2，2，0），E（0，0，2），F(xiàn)（2，0，1），D（0，0，0），
∴

BF

=（0，-2，1），

BD

=（-2，-2，0），
設(shè)平面BDF的法向量

m

=（a，b，c），則

-2b+c=0 -2a-2b=0

，
∴

m

=（-1，1，2），
∵平面ADF的法向量（0，1，0），
∴二面角A-FD-B的余弦值為

2

6

，∴正切值為

2

2

；
（3）解：設(shè)平面BEF的法向量

n

=（x，y，z），則

-2x-2y+2z=0 -2y+z=0

，
∴

n

=（1，1，2），
∴點(diǎn)D到平面BEF的距離d=

| BD • n |

| n |

=

2 6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查平面與平面所成角的正切值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．