Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，左頂點(diǎn)為A，若|F₁F₂|=2，橢圓的離心率為e=

1

2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求

PF1

•

PA

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用|F₁F₂|=2，橢圓的離心率為e=

1

2

，求出幾何量，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）利用數(shù)量積公式求出

PF1

•

PA

，結(jié)合-2≤x≤2，即可求

PF1

•

PA

的取值范圍．

解答： 解：（I）由題意，∵|F₁F₂|=2，橢圓的離心率為e=

1

2

∴c=1，a=2，
∴b=

3

，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1   …（4分）
（II）設(shè)P（x₀，y₀），則
∵A（-2，0），F(xiàn)₁（-1，0），
∴

PF1

•

PA

=（-1-x₀）（-2-x₀）+y₀²=

1

4

x²+3x+5，
由橢圓方程得-2≤x≤2，二次函數(shù)開口向上，對稱軸x=-6＜-2
當(dāng)x=-2時(shí)，取最小值0，
當(dāng)x=2時(shí)，取最大值12．
∴

PF1

•

PA

的取值范圍是[0，12]…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．