【題目】設(shè)集合、
均為實數(shù)集
的子集,記:
;
(1)已知,
,試用列舉法表示
;
(2)設(shè),當(dāng)
,且
時,曲線
的焦距為
,如果
,
,設(shè)
中的所有元素之和為
,對于滿足
,且
的任意正整數(shù)
、
、
,不等式
恒成立,求實數(shù)
的最大值;
(3)若整數(shù)集合,則稱
為“自生集”,若任意一個正整數(shù)均為整數(shù)集合
的某個非空有限子集中所有元素的和,則稱
為“
的基底集”,問:是否存在一個整數(shù)集合既是自生集又是
的基底集?請說明理由.
【答案】(1) (2)
(3)存在,理由見解析
【解析】
(1)根據(jù)新定義,結(jié)合已知中的集合
、
,可得答案;
(2)曲線表示雙曲線,進而可得
,
,則
,結(jié)合
且
及基本不等式,可得
進而得到答案;
(3)設(shè)整數(shù)集合,其中
為斐波那契數(shù)列,即
,
,
,
①由得:
,可得
是自生集;
②對于任意,對于任一正整數(shù)
,存在集合
的一個有限子集
,使得
,(
,
),再用數(shù)學(xué)歸納法證明集合
又是
的基底集.
解:(1)∵;
當(dāng),
時,
;
(2)曲線,即
,在
時表示雙曲線,
故,
∴,
∵,
∴中的所有元素之和為
,
∴,
∵,且
,
∴,
∴,
即實數(shù)的最大值為
;
(3)存在一個整數(shù)集合既是自生集又是的基底集,理由如下:
設(shè)整數(shù)集合,其中
為斐波那契數(shù)列,
即,
,
,
下證:整數(shù)集合既是自生集又是
的基底集,
①由得:
,
故是自生集;
②對于任意,對于任一正整數(shù)
,存在集合
的一個有限子集
,
使得,(
,
),
當(dāng)時,由
,
,
,
,知結(jié)論成立;
假設(shè)結(jié)論對時成立,
則時,只須對任何整數(shù)
討論,
若,則
,
,
故,
,
由歸納假設(shè),可以表示為集合
中有限個絕對值小于
的元素的和.
因為,
所以可以表示為集合
中有限個絕對值小于
的元素的和.
若,則結(jié)論顯然成立.
若,則
,
,
由歸納假設(shè)知,可以表示為集合
中有限個絕對值小于
的元素的和.
所以,當(dāng)時結(jié)論也成立;
由于斐波那契數(shù)列是無界的,
所以,任一個正整數(shù)都可以表示成集合的一個有限子集中所有元素的和.
因此集合又是
的基底集.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,楔形幾何體由一個三棱柱截去部分后所得,底面
側(cè)面
,
,楔面
是邊長為2的正三角形,點
在側(cè)面
的射影是矩形
的中心
,點
在
上,且
(1)證明:平面
;
(2)求楔面與側(cè)面
所成二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,過橢圓:
的左右焦點
分別作直線
,
交橢圓于
與
,且
.
(1)求證:當(dāng)直線的斜率
與直線
的斜率
都存在時,
為定值;
(2)求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地計劃在一處海灘建造一個養(yǎng)殖場.
(1)如圖1,射線OA,OB為海岸線,,現(xiàn)用長度為1千米的圍網(wǎng)PQ依托海岸線圍成一個
的養(yǎng)殖場,問如何選取點P,Q,才能使養(yǎng)殖場
的面積最大,并求其最大面積.
(2)如圖2,直線l為海岸線,現(xiàn)用長度為1千米的圍網(wǎng)依托海岸線圍成一個養(yǎng)殖場.方案一:圍成三角形OAB(點A,B在直線l上),使三角形OAB面積最大,設(shè)其為;方案二:圍成弓形CDE(點D,E在直線l上,C是優(yōu)弧所在圓的圓心且
),其面積為
;試求出
的最大值和
(均精確到0.01平方千米),并指出哪一種設(shè)計方案更好.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是奇函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù),
,當(dāng)
時,
,則使得
成立的
的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了鼓勵職員工作熱情,某公司對每位職員一年來的工作業(yè)績按月進行考評打分;年終按照職員的月平均值評選公司最佳職員并給予相應(yīng)獎勵.已知職員一年來的工作業(yè)績分數(shù)的莖葉圖如圖所示:
(1)根據(jù)職員的業(yè)績莖葉圖求出他這一年的工作業(yè)績的中位數(shù)和平均數(shù);
(2)若記職員的工作業(yè)績的月平均數(shù)為
.
①已知該公司還有6位職員的業(yè)績在100以上,分別是,
,
,
,
,
,在這6人的業(yè)績里隨機抽取2個數(shù)據(jù),求恰有1個數(shù)據(jù)滿足
(其中
)的概率;
②由于職員的業(yè)績高,被公司評為年度最佳職員,在公司年會上通過抽獎形式領(lǐng)取獎金.公司準(zhǔn)備了9張卡片,其中有1張卡片上標(biāo)注獎金為6千元,4張卡片的獎金為4千元,另外4張的獎金為2千元.規(guī)則是:獲獎職員需要從9張卡片中隨機抽出3張,這3張卡片上的金額數(shù)之和就是該職員所得獎金.記職員
獲得的獎金為
(千元),求
的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】斜三棱柱ABC﹣A1B1C1,已知側(cè)面BB1C1C與底面ABC垂直且∠BCA=90°,∠B1BC=60°,BC=BB1=2,若二面角A﹣B1B﹣C為30°
(1)求AB1與平面BB1C1C所成角的正切值;
(2)在平面AA1B1B內(nèi)找一點P,使三棱錐P﹣BB1C為正三棱錐,并求P到平面BB1C距離.
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