Question

已知雙曲線T：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的右焦點(diǎn)為F（2，0），且經(jīng)過點(diǎn)R（

2 3

3

，0），△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓T上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△ABC三條邊AB，BC，AC的中點(diǎn)分別為M，N，P，且三條邊所在直線的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₁≠0，i=1，2，3．若直線OM，ON，OP的斜率之和為-1．則

1

k1

+

1

k2

+

1

k3

的值為（　�。�

• A、-1
• B、-

  1

  2

• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由條件求得a、b、c的值，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)差法，確定三條邊所在直線的斜率，結(jié)合直線OM，ON，OP的斜率之和為-1，求得

1

k1

+

1

k2

+

1

k3

 的值．

解答： 解：由題意可得，a=

2 3

3

，c=2，∴b²=c²=-a²=

8

3

，∴雙曲線T：

x2

4 3

-

y2

8 3

=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），M（s₁，t₁），N（s₂，t₂），P（s₃，t₃），
由：6•x12-3•y12=8，6•x22-3•y22=8，兩式相減，得到6（x₁-x₂）（x₁+x₂）-3（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴k₁=

y1-y2

x1-x2

=2•

x1+x2

y1+y2

=2•

s1

t1

，∴

1

k1

=

1

2

•

t1

s1

．
同理可得，

1

k2

=

1

2

•

t2

s2

，

1

k3

=

1

2

•

t3

s3

．
再根據(jù)直線OM，ON，OP的斜率之和為 （

t1

s1

+

t2

s2

+

t3

s3

）=-1，可得

1

k1

+

1

k2

+

1

k3

=

1

2

（

t1

s1

+

t2

s2

+

t3

s3

）=-

1

2

，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線的斜率公式、點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．