Question

【題目】已知函數

(1)討論函數的定義域；

(2)當時，解關于x的不等式：

(3)當時，不等式對任意實數恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）0＜x＜1（3）m＜﹣log23

【解析】

（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1 下面分類討論：當a＞1時，x＞0；當0＜a＜1時，x＜0即可求得f（x）的定義域

（2）根據函數的單調性解答即可；

（3）令g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1在[1，3]上是單調增函數，只需求出最小值即可．

解：（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1．

當a＞1時，x＞0；

當0＜a＜1時，x＜0．

所以f（x）的定義域是當a＞1時，x∈（0，+∞）；當0＜a＜1時，x∈（﹣∞，0）．

（2）當a＞1時，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

則，所以11．

因為a＞1，所以loga（1）＜loga（1），即f（x1）＜f（x2）．

故當a＞1時，f（x）在（0，+∞）上是增函數．

∵f（x）＜f（1）；

∴ax﹣1＜a﹣1，

∵a＞1，

∴x＜1，

又∵x＞0，

∴0＜x＜1；

（3）∵g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1在[1，3]上是單調增函數，

∴g（x）min＝﹣log23，

∵m＜g（x），

∴m＜﹣log23．