Question

已知向量

a

，

b

，

c

滿足|

a

|=|

b

|=

a

•

b

=2，（

a

-

c

）•（

b

-2

c

）=0，則|

b

-

c

|的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由|

a

|=|

b

|=

a

•

b

=2，可得＜

a

，

b

＞=

π

3

．不妨設(shè)

a

=（2，0），

b

=(1，

3

)．設(shè)

c

=（x，y），由（

a

-

c

）•（

b

-2

c

）=0，可得(x-

5

4

)2+(y-

3

4

)2=

3

4

．圓心C(

5

4

，

3

4

)，半徑r=

3

2

．|

b

-

c

|=

(x-1)2+(y- 3 )2

．表示點(diǎn)Q（x，y）與P（1，

3

）的距離．可得|

b

-

c

|的最小值為|CP|-r．

解答： 解：∵|

a

|=|

b

|=

a

•

b

=2，∴2×2cos＜

a

，

b

＞=2，解得＜

a

，

b

＞=

π

3

．
不妨設(shè)

a

=（2，0），

b

=(1，

3

)．
設(shè)

c

=（x，y），則

a

-

c

=（2-x，-y），

b

-2

c

=(1-2x，

3

-2y)．
∵（

a

-

c

）•（

b

-2

c

）=0，
∴（2-x）（1-2x）-y(

3

-2y)=0，
化為(x-

5

4

)2+(y-

3

4

)2=

3

4

．圓心C(

5

4

，

3

4

)，半徑r=

3

2

．
|

b

-

c

|=

(x-1)2+(y- 3 )2

．表示點(diǎn)Q（x，y）與P（1，

3

）的距離．
∵|CP|=

( 5 4 -1)2+( 3 4 - 3 )2

=

7

2

．
∴|

b

-

c

|的最小值為|CP|-r=

7 - 3

2

．
故答案為：

7 - 3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．