Question

【題目】過(guò)橢圓上一點(diǎn)作兩條直線(xiàn)，與橢圓另交于，點(diǎn)，設(shè)它們的斜率分別為，．

（1）若，，求的面積；

（2）若，，求直線(xiàn)的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1） 先通過(guò)點(diǎn)斜式分別寫(xiě)出直線(xiàn)，的方程，再通過(guò)曲直聯(lián)立求出點(diǎn)和的坐標(biāo)，

從而求得直線(xiàn)的方程以及線(xiàn)段的長(zhǎng)，然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出的高，從而求得其面積.

（2）設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，然后分類(lèi)討論，①當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可得知直線(xiàn)的方程為；②當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，結(jié)合平面幾何知識(shí)可得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線(xiàn)，然后設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，，，，再通過(guò)曲直聯(lián)立、韋達(dá)定理和點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到，，所以直線(xiàn)斜率為，所以直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)斜率不相等，即點(diǎn)，，三點(diǎn)不共線(xiàn)，與前面的結(jié)論矛盾，最后得到直線(xiàn)的方程為．

解：（1）因?yàn)?/span>，，

所以直線(xiàn)，方程分別為，，

由，得：，

由此解得，，所以，

同理可得：，

所以直線(xiàn)的方程為，

所以，

（2）設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，

①當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，

因?yàn)?/span>，所以，

所以直線(xiàn)的方程為，

②當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)．設(shè)，，，，，

在中，因?yàn)?/span>，所以，

在中，因?yàn)?/span>，所以，

所以點(diǎn)，，三點(diǎn)共線(xiàn)，

因?yàn)橹本�(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的斜率為，

設(shè)直線(xiàn)的方程為，

由，得：，

由韋達(dá)定理知，，，

所以，，

所以直線(xiàn)斜率為，所以直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)斜率不相等，

點(diǎn)，，三點(diǎn)不共線(xiàn)（與上面的結(jié)論矛盾），

綜上：所求直線(xiàn)的方程為.