Question

（1）證明：當a＞1時，不等式a³+

1

a3

＞a²+

1

a2

成立．
（2）要使上述不等式a³+

1

a3

＞a²+

1

a2

成立，能否將條件“a＞1”適當放寬？若能，請放寬條件并簡述理由；若不能，也請說明理由．
（3）請你根據(jù)（1）、（2）的證明，試寫出一個類似的更為一般的結(jié)論，且給予證明．

Answer 1

考點：不等式的證明,類比推理

專題：證明題,分類討論

分析：（1）用作差比較法證明不等式，把差化為因式積的形式，判斷符號，得出結(jié)論．
（2）由于a-1與a⁵-1同號，對任何a＞0且a≠1 恒成立，故上述不等式的條件可放寬為a＞0且a≠1．
（3）左式-右式等于

1

nm

(am-n-1)(am+n-1)，根據(jù)m＞n＞0，分a＞1 和0＜a＜1 兩種情況討論．

解答： 解：（1）證明：a3+

1

a3

-a2-

1

a2

=

1

a3

(a-1)(a5-1)，∵a＞1，∴

1

a3

（a-1）（a⁵-1）＞0，
∴原不等式成立．
（2）∵a-1與a⁵-1同號對任何a＞0且a≠1 恒成立，∴上述不等式的條件可放寬為a＞0且a≠1．
（3）根據(jù)（1）（2）的證明，可推知：若a＞0且a≠1，m＞n＞0，則有am+

1

nm

＞an+

1

nn

．
證：左式-右式=am-an+

1

nm

-

1

nn

=an(am-n -1)-

1

am

（a^m-n-1）
=（a^m-n-1）（ aⁿ-

1

am

）=

1

am

（a^m-n-1）（a^m+n-1），
若a＞1，則由m＞n＞0 可得 

1

am

＞0，a^m-n-1＞0，a^m+n-1＞0，∴不等式成立．
若0＜a＜1，則由m＞n＞0 可得 

1

am

＞0，0＜a^m-n＜1，0＜a^m+n＜1，∴不等式成立．

點評：本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，用比較法證明不等式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．