Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ω

2

x+1（ω＞0）直線y=

3

與函數(shù)f（x）圖象相鄰兩交點的距離為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若點（

B

2

，0）是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心，且b=3，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）運用二倍角的余弦公式，以及兩角差的正弦化簡f（x），再由周期公式，即可得到ω的值；
（Ⅱ）由（1）知f（x）=

3

sin（2x-

π

3

），f（

B

2

）=0，得到B=

π

3

，再由余弦定理和基本不等式，以及三角形的面積公式，即可求出面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ω

2

x+1
=sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

-2•

1+cosωx

2

+1
=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx=

3

sin（ωx-

π

3

）
∵f（x）的最大值為

3

，
∴f（x）的最小正周期為π，
∴ω=2．
（Ⅱ）由（1）知f（x）=

3

sin（2x-

π

3

），
∵

3

sin（B-

π

3

）=0⇒B=

π

3

，
∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-9

2ac

=

1

2

，
ac=a²+c²-9≥2ac-9，ac≤9，
故S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

9 3

4

，
故△ABC的面積的最大值為

9 3

4

．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和圖象、性質(zhì)，同時考查余弦定理及運用，基本不等式的運用，屬于中檔題．