甲、乙兩容器中分別盛有濃度為10%，20%的某種溶液500ml，同時從甲、乙兩個容器中各取出l00ml溶液，將其倒入對方的容器攪勻，稱為一次調(diào)和．經(jīng)n-1（n≥2，n∈N*）次調(diào)和后甲、乙兩個容器中的溶液濃度分別為an，bn．記a1=10%，b1=20%．
（1）試用an-1，bn-1表示an，bn；
（2）求證：數(shù)列{an-bn}是等比數(shù)列，數(shù)列{an+bn}是常數(shù)列；
（3）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式．
考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）由題意，經(jīng)n-1（n≥2，n∈N*）次調(diào)和后甲、乙兩個容器中的溶液濃度分別為an，bn，從而可用an-1，bn-1表示an，bn；
（2）利用（1）的結論，化簡可得結論；
（3）利用（2）的結論，解方程組可得結論．
解答： （1）解：由題意，經(jīng)n-1（n≥2，n∈N*）次調(diào)和后甲、乙兩個容器中的溶液濃度分別為an，bn，
∴an=
400an-1+100bn-1
500
=
4
5
an-1+
1
5
bn-1，
bn=
400bn-1+100an-1
500
=
4
5
bn-1+
1
5
an-1；
（2）證明：由（1）知，bn-an=（
4
5
bn-1+
1
5
an-1）-（
4
5
an-1+
1
5
bn-1）=
3
5
（bn-1-an-1）（n≥2）．
可知數(shù)列{bn-an}為首項是b1-a1=10%，公比為
3
5
的等比數(shù)列，
∴bn-an=（b1-a1）（
3
5
）n-1=10%•（
3
5
）n-1=
1
10
•（
3
5
）n-1；
bn+an=（
4
5
bn-1+
1
5
an-1）+（
4
5
an-1+
1
5
bn-1）=bn-1+an-1，
∴數(shù)列{an+bn}是常數(shù)列；
（3）由（2）bn-an=
1
10
•（
3
5
）n-1①
又an+bn=an-1+bn-1=a1+b1=30%=
3
10
②
聯(lián)立①②得an=
3
20
-
1
20
•（
3
5
）n-1，bn=
3
20
+
1
20
•（
3
5
）n-1．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，考查學生利用數(shù)學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
2
sin(2x+
π
6
)-
1
2
cos(2x+
π
6
)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f(
x
2
)，x＞0且函數(shù)g（x）的圖象與直線y=
3
2
交點的橫坐標由小到大依次是x1，x2，x3，…，xn，求數(shù)列{xn}的前100項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設正項數(shù)列{dn}的前n項和為sn，若?M＞0，對?n∈N+，sn＜M恒成立，則稱{dn}為收斂數(shù)列．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1=2，公差d為質(zhì)數(shù)； {bn}為等比數(shù)列，b1=1，公比q的倒數(shù)為正偶數(shù)，且滿足a2+a3+a4+a5=
1
b3
+
1
b4
+
1
b5
．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）是判斷數(shù)列{an•bn}是否為收斂數(shù)列？若是，請證明；若不是請說明理由；
（3）設cn=
dn
(1+d1)(1+d2)…(1+dn)
(n∈N+)，試判斷數(shù)列{cn}是否為收斂數(shù)列？若是，請證明；若不是請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種肥料，已知生產(chǎn)每噸甲種肥料要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙種肥料要用A原料1噸，B原料3噸，且該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸．據(jù)悉生產(chǎn)甲種肥料每噸利潤為5萬元，生產(chǎn)乙種肥料每噸利潤為3萬元，通過市場分析該廠生產(chǎn)的機器能全部售完，問如何合理安排生產(chǎn)甲、乙兩種肥料，使該企業(yè)的利潤最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1+a2=2(
1
a1
+
1
a2
)，a3+a4=32(
1
a3
+
1
a4
)．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=an2+log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā)，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)．根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少
1
5
，本年度當?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用，預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加
1
4
．
（1）設n年內(nèi)（本年度為第1年）總投人為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an，bn的表達式；
（2）至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收人才能超過總投入？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x，y滿足約束條件
x-y+1≥0
x+y-3≤0
x+3y-3≥0
，則z=x+2y的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓{x=2
3
cosθ   y=
3
sinθ}的左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為B，則
BF1
•
BF2
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

為了解某校高三畢業(yè)班報考體育專業(yè)學生的體重（單位：千克）情況，將從該市某學校抽取的樣本數(shù)據(jù)整理后得到如下頻率分布直方圖．已知圖中從左至右前3個小組的頻率之比為1：2：3，其中第2小組的頻數(shù)為12．
（I）求該校報考體育專業(yè)學生的總?cè)藬?shù)n；
（Ⅱ）若用這所學校的樣本數(shù)據(jù)來估計該市的總體情況，現(xiàn)從該市報考體育專業(yè)的學生中任選3人，設ξ表示體重超過60千克的學生人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

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