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【題目】已知函數（，）的周期為，圖象的一個對稱中心為，將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象.

（1）求函數與的解析式；

（2）求證：存在，使得，，能按照某種順序成等差數列.

【答案】（1）；；（2）證明見解析

【解析】

（1）由周期公式可得，，再由對稱中心可得值，可得解析式，由函數圖象變換和誘導公式化簡可得；

（2）當時，問題轉化為方程在內是否有解，由函數零點的存在性定理可得.

解：（1）函數的周期為，，

，

又曲線的一個對稱中心為，，

，可得，，

將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得的圖象，

再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，

由誘導公式化簡可得；

（2）當時，，，

，

問題轉化為方程在內是否有解.

設，，

，，且函數的圖象連續(xù)不斷，

函數在內存在零點，

即存在，使得，，能按照某種順序成等差數列.

練習冊系列答案
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（1）求關于的表達式，并求的最小值.

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（1）設橢圓的左右焦點分別為、，點在橢圓上運動，求的值；

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【題目】已知函數.

（1）設，（其中是的導數），求的最小值；

（2）設，若有零點，求的取值范圍.

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【題目】某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路、，海岸邊界近似地看成一條曲線段.為開發(fā)旅游資源，需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道，且直線與曲線有且僅有一個公共點P（即直線與曲線相切），如圖所示．若曲線段是函數圖像的一段，點M到、的距離分別為8千米和1千米，點N到的距離為10千米，點P到的距離為2千米.以、分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系.

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（2）求直線的方程，并求出公路的長度（結果精確到1米）.

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